Žروش ژاكوبی برای حل مسائل غیر خطی

روش ژاكوبی در واقع تعمیمی از روش سیمپلكس برای حل مسائل خطی می‌باشد یا به عبارت دیگر روش ژاكوبی در حالتی خاص همان روش سیمپلكس می‌باشد.

• تئوری روش مشتق مقید(ژاكوبی)

فرض می‎شود كه توابع g,  f دو بار پیوستة مشتق پذیر باشند   (از ردة C²). ایدة روش ژاكوبی یافتن گوی بسته ای است كه در تمام نقاط آن مشتق های جزئی مرتبه اول موجود و شرط g(x)=0 برآورده گردد. همان طور كه می دانیم نقاط بحرانی نقاطی اند كه مشتقات جزئی تابع در آن‌ها صفر گردد.

برای شناسایی نقاط بحرانی از شرایط كافی به شرح زیر استفاده می كنیم:

شرایط كافی برای نقطة بحرانی  جهت اكسترمم بودن آن است كه ماتریس هسیان محاسبه شده در نقطه

1. هنگامی كه   می نیمم است مثبت باشد .
2. هنگامی كه   ماكزیمم است منفی باشد .

برای روشن كردن این مفهوم تابع f(x₁ , x₂) را در نظر می گیریم. هدف می نیمم كردن تابع با توجه به محدودیت g₁(x₁ , x₂) = x₂ - b=0 می‎باشد. (b ثابت است.) منحنی ایجاد شده توسط سه نقطة C , B , A مقادیری از f را نمایش می‎دهد كه محدودیت اعمال شده همواره برآورده می گردد. روش ژاكوبی، گرادیان f(x₁ , x₂) را در هر نقطه ای از منحنی ABC تعریف می‌كند. هر نقطه ای كه مشتق آن برابر صفر گردد نشان دهنده یك نقطه بحرانی برای این مسئله مقید می‎باشد كه در شكل زیر نقطة B ، نقطه موردنظر می‎باشد.

با استفاده از ق تیلور برای نقاط  در همسایگی قابل قبول x داریم:

هنگامی كه  خواهیم داشت:

و از آنجا كه g(x)=0 در نتیجه  بنابراین خواهیم داشت:

حال یك دستگاه با (n+1) مجهول و (m+1) معادله خواهیم داشت كه مجهولاتمان درایه‌های  می باشند  با مشخص شدن  پیدا می‎شود. و این بدان معناست كه در واقع m معادله با n مجهول داریم. اگر m>n آن گاه حداقل (m-n) معادله زائد می باشند. پس از حذف آنها، سیستم به تعداد كارایی از معادلات مستقل مانند  كاهش خواهد یافت. برای حالتی كه m=n باشد جواب می‎باشد و این نشان دهنده آن است كه X همسایگی قابل قبول ندارد و فضای حل تنها از یك نقطه تشكیل یافته است. در اینجا این حالت موردنظر نیست و ما به بررسی حالت m < n می‎پردازیم.