مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی

خلاصه‌ی مطالب

برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم كه بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراینجا خلاصه‌ای از مطالبی كه مطالعه خواهید كرد آورده شده است.

دریك حلقه‌ی جابجایی و یكدار R، گراف مقسوم علیه صفر،، گرافی است كه رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند كه درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است كه اگر Rنوتری باشد آن گاه شعاع،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده می شود كه وقتی R آریتن می‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی كه مركز گراف مشخص شده باشد می توان قطر را تعیین كرد و نشان داده می‌شود كه اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مركز آن است. زمانی كه Rآریتن باشد با به كاربردن عناصری از مركز می‌توان یك مجموعه‌ی غالب از ساخت و نشان داده می شود كه برای حلقه‌ی متناهی، كه F میدان متناهی است، عدد غالب مساوی با تعداد ایده آل های ماكسیمال مجزای R است. و همچنین نتایج دیگری روی ساختارهای بیان می‌شود.

واژه های كلیدی

مجموعه های مركزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر

فصل اول

1-مقدمه

حلقه‌ی جابجایی و یكدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر،، گرافی است كه رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x  و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با نشان داده می شود. این تعریف از ابتدا توسط livings ston (1999) و anderson بیان شد كه تعداد زیادی از ویژگی های اساسی مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) وAuderson بیان شد كه همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.

و anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی می‌باشند. این ساختار های گرافیكی به شكل موضوع های جبری دیگر توسطCannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، كه در ادامه به آن می پردازیم.

درطول این پژوهش برآنیم كه نتایجی را روی حلقه های یكدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممكن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های كاربردی از مركزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود كه شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یك حلقه نوتری و جابجایی و یكدار 0، 1، 2 می‌باشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مركزی (مركز، میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یكدار به كاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از را بیان می كنیم كه از جمله‌ی آن ها قطر و كران های روی تعداد یال های گراف می‌باشد. 

2-پیش نیازها

بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مركزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است كه آن را باید پیش نیاز نامید:

تعریف1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر می باشد به طوری كه xy=0 به عبارت دیگر                                                   

تعریف 2.2.1 عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یك مقسوم علیه صفر (zero dirisor)  گوییم هرگاه عنصر ناصفری از Rمانندموجود باشد به طوری كه xy=0.

مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم كه به صورت زیر می‌باشد:

تعریف 3.2.1 عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه موجود باشد به طوری كه xⁿ=0.

تذكر: بدیهی است كه هر عنصر پوچ توان یك مقسوم علیه صفر حلقه می‌باشد.

تعریف 4.2.1 پوچ رادیكال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد كه به صورتnill (R) نمایش داده می شود.

تعریف 5.2.1 اشتراك همه‌ی ایده آل های ماكسیمال حلقه‌ی R را رادیكال ژاكوبسون R (Jacobson) می نامیم و با J(R)نمایش می دهیم.

تعریف 6.2.1 حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته  (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.