برای تاكید بیشتر تعریف ایستایی، فرض كنید Y_t یك سری زمانی تصادفی با ویژگیهای زیر است:

(1     : میانگین

(2)        واریانس :

(3)   كوواریانس :

(4)  ضریب همبستگی :

كه در آن میانگین، واریانس كوواریانس (كوواریانس بین دو مقدار Y كه K دوره با یكدیگر فاصله دارند، یعنی كوواریانس بینY_t و Y_t-k) و ضریب همبستگی مقادیر ثابتی هستند كه به زمان t بستگی ندارند.

اكنون تصور كنید مقاطع زمانی را عوض كنیم به این ترتیب كه Y از Y_t به Y_t-k تغییر یابد. حال اگر میانگین، واریانس، كوواریانس و ضریب همبستگی Y تغییری نكرد، می توان گفت كه متغیر سری زمانی ایستا است. بنابراین بطور خلاصه می توان چنین گفت كه یك سری زمانی وقتی ساكن است كه میانگین، واریانس، كوواریانس و در نتیجه ضریب همبستگی آن در طول زمان ثابت باقی بماند و مهم نباشد كه در چه مقطعی از زمان این شاخص ها را محاسبه می كنیم. این شرایط تضمین می كند كه رفتار یك سری زمانی، در هر مقطع متفاوتی از زمان، همانند می باشد[1].

آزمون ساكن بودن از طریق نمودار همبستگی و ریشه واحد[2]

یك آزمون ساده برای ساكن بودن براساس تابع خود همبستگی (ACF) می باشد. (ACF) در وقفه k با نشان داده می شود و بصورت زیر تعریف می گردد.

از آنجاییكه كوواریانس و واریانس، هر دو با واحدهای یكسانی اندازه گیری می‌شوند، یك عدد بدون واحد یا خالص است. به مانند دیگر ضرایب همبستگی، بین (1-) و (1+) قرار دارد. اگر را در مقابل K (وقفه ها) رسم نماییم، نمودار بدست آمده، نمودار همبستگی جامعه نامیده می شود. از آنجایی كه عملاً تنها یك تحقق واقعی (یعنی یك نمونه) از یك فرآیند تصادفی را داریم، بنابراین تنها می‌توانیم تابع خود همبستگی نمونه، را بدست آوریم. برای محاسبه این تابع می‌بایست ابتدا كوواریانس نمونه در وقفه K و سپس واریانس نمونه را محاسبه نماییم.

كه همانند نسبت كوواریانس نمونه به واریانس نمونه است. نمودار در مقابل K نمودار همبستگی نمونه نامیده می شود. در عمل وقتی مربوط به جامعه را ندایم و تنها را براساس مصداق خاصی از فرآیند تصادفی در اختیار داریم باید به آزمون فرضیه متوسل شویم تا بفهمیم كه صفر است یا خیر. بارتلت (1949)[3] نشان داده است كه اگر یك سری زمانی كاملاً تصادفی یعنی نوفه سفید باشد، ضرایب خود همبستگی نمونه تقریباً دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس می باشد كه در آن n حجم نمونه است. براین اساس می توان یك فاصله اطمینان، در سطح 95 درصد ساخت. بدین ترتیب اگر تخمینی در این فاصله قرار گیرد، فرضیه=0) را نمی توان رد كرد. اما اگر تخمینی خارج از این فاصله اعتماد قرار گیرد می توان صفر بودن را رد كرد.

آزمون دیگری نیز بصورت گسترده برای بررسی ایستایی سریهای زمانی بكار می‌رود كه به آزمون ریشه واحد معروف است. برای فهم این آزمون مدل زیر را در نظر بگیرید[4]:

Y_t = Y_t-1+U_t

U_t جمله خطای تصادفی است كه فرض می شود بوسیله یك فرآیند تصادفی مستقل (White Noise) بوجود آمده است. (یعنی دارای میانگین صفر، واریانس ثابت و غیر همبسته می باشد).

خواننده می تواند تشخیص دهد كه معادله فوق، یك معادلخ خود رگرسیون مرتبه اول یا AR(1) می باشد. در این معادله مقدار Y در زمان t بر روی مقدار آن در زمان (t-1) رگرس شده است. حال اگر ضریب Y_t-1 برابر یك شود مواجه با مساله ریشه واحد می شویم. یعنی این امر بیانگر وضعیت غیر ایستایی سری زمانی Y_t می باشد. بنابراین اگر رگرسیون زیر را اجرا كنیم:

و تشخیص دهیم كه است، گفته می شود متغیر Y_t دارای یك ریشه واحد است. در اقتصاد سنجی سریهای زمانی، سری زمانی كه دارای یك ریشه واحد باشد، نمونه‌ای از یك سری زمانی غیر ایستا است.

معادله فوق غالباً به شكل دیگری نیز نشان داده می شود:

كه در آن،  اپراتور تفاضل مرتبه اول می باشد. توجه كنید كه است. اما اكنون فرضیه صفر ما عبارت است از كه اگر برابر با صفر باشد می توانیم معادله فوق را بصورت زیر بنویسیم:

این معادله بیانگر آن است كه تفاضل اول سری زمانی Y_t ساكن می باشد. زیرا بنا به فرض U_t یك جمله اختلال سفید (اختلال خالص) می باشد.

اگر از یك سری زمانی یك مرتبه تفاضل گرفته شود (تفاضل مرتبه اول) و این سری تفاضل گرفته شده ساكن باشد، آنگاه سری زمانی اصلی (انباشته از مرتبه اول[5]) می باشد و به صورت I(1) نشان داده می شود.

به طور كلی اگر از یك سری زمانی d مرتبه تفاضل گرفته شود، انباشته از مرتبه d یا I(d) می باشد. پس هرگاه یك سری زمانی انباشته از مرتبه یك یا بالاتر باشد سری زمانی غیر ایستا خواهد بود. بطور متعارف اگر d=0 باشد، در نتیجه فرآیند I(0) نشان دهنده یك فرآیند ساكن می باشد. به همین علت نیز یك فرآیند ساكن بصورت I(0) مورد استفاده قرار می گیرد.

برای وجود ریشه واحد تحت فرضیه از آمار یا (tau)[6] استفاده می‌كنیم، مقادیر بحرانی این آماره به روش شبیه سازی مونت كارلو توسط دیكی و فولر بصورت جداول آماری محاسبه شده است. (متاسفانه آماره t ارائه شده حتی در نمونه‌های بزرگ از توزیع t استیودنت پیروی نمی كند و در نتیجه نمی توان از كمیت بحرانی t برای انجام آزمون استفاده كرد.)