حل مسایل مقدار اولیه – مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه بالا غیرخطی بوسیله شبكه‌های عصبی

در علوم مهندسی اغلب سیستمهای دنیای واقعی كه با معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند، شامل چندین شرط اولیه یا مرزی وابسته به شرایط فیزیكی مسئله نیز میباشند. مهمترین شاخص در مورد هر مسئله مقدار اولیه- مرزی برای یك دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی عبارتست از خوش‌خیمی آن یعنی وجود و یكتایی جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نیز نوع شرایط اولیه- مرزی قابل بحث است. مانند سایر مسایل روشهای زیادی هر چند مشكل، برای حل غیرتحلیلی چنین مسایلی وجود دارد از قبیل روشهای جداسازی متغیرها، تبدیلات انتگرالی، تغییر مختصات، تغییر متغییر وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش این روشها زمانی مشخص تر میشود كه برای مسایلی بكار بروند كه جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی‌شان مستقیما قابل محاسبه نباشد. این ارزش در صورت توانایی بكارگیری روش برای دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غیرخطی، دوچندان میشود.

در ریاضیات كاربردی عبارتند از همگرایی، پایدار علمی، سازگاری و خوشحالی عددی آنها. سه دسته مجزا برای این روشهای حل غیرتحلیلی میتوان در نظر گرفت: روشهای تغییراتی، روشهای بسطی و روشهای علمی. در روشهای تغییراتی معادلات دیفرانسیل مسئله را بهمراه شرایط اولیه- مرزی آن بیك مسئله مینیمم سازی تابعكی مناسب در یك فضای تابعی تبدیل كرده و با حل این مسئله بهینه سازی جواب مسئله اصلی را بدست میاوریم. مهمترین مشكل چنین روشهایی تعریف مناسب تابعكهای مورد نیاز میباشد.

در روشهای بسطی (طیفی و شبه طیفی) مانند روشهای هم محلی و گالركین یا روشهای سری فوریه، سری وزنوله متناهی جواب تقریبی مسئله را بكمك یك دسته از توابع پایه ای (چندجمله ایهای متعامد) در نظر گرفته و با تحویل مسئله اصلی بیك دستگاه معادلات (خطی) ضرایب مجهول سری مذكور را بدست میاوریم مهمترین مشكلات این روشها نحوه انتخاب توابع پایه ای و چگونگی محاسبه ضرایب مجهول، میباشد.

تا اینجا روشهای مزبور همگی بدون مش میباشند. در مقابل، روشهای علمی طبق معمول بر پایه گستر سازی دامنه تعریف مسئله به تعدای المان، محلی بوسیله یك مجموعه از پیش تعیین شده و متناهی از نقاط گرهی بنام مش، استوار هستند و جواب را در این مجموعه متناهی از نقاط بدست میدهند.

مهمترین مشكلات چنین روشهایی عبارتست از اسلوب المان، خواص حل كنندة اصلی و محاسبات مربوط به تولید مش. از میان روشهای علمی برای حل مسایل مقدار اولیه- مرزی معادلات دیفرانسیل جزئی، مشهورترینشان روشهای تفاضلات، المان محدود، حجم محدود و المان مرزی میباشند.

اكثر كارهای پیشین در حل مسایل مقدار اولیه امرزی معادلات دیفرانسیل جزئی در یك دامنة ابر مكعبی بكمك شبكه های عصبی پیشخور، به اصل جایگذاری تقریب تابع جواب كه بوسیلة خواص تقریب زنندگی شبكه های عصبی مصنوعی بدست آورده است، در معادلات (و شرایط اولیه امرزی) مسئله، استوار میباشند.